高校数学の知識を試す10問のクイズが用意されました。二次方程式の因数分解から、対数、三角比、数列、ベクトルの内積、虚数単位の性質、定積分の計算など、高校数学の重要な概念が網羅されています。これらの問題を解くには、基本的な数学の公式や定理を確実に理解し、応用力を身につける必要があります。数学の力を試したい受験生や、高校数学の復習をしたい人にぴったりのクイズ特集です。正解率はどれくらいでしょうか。この10問を解いて、自分の数学力を確認してみましょう。
Q1 : log_2 8 の値はどれか。
対数 log_2 8 は 2 を底としたとき 8 を得るために必要な指数を意味する。2 を何乗すれば 8 になるか考えると 2^3=8 であるから求める指数は 3。公式 log_a b = n ⇔ a^n=b を直接適用すれば暗算で判定できる。底と真数がべき乗関係にある場合は計算が瞬時に終わるため、計算機を使うより概念を思い出す方が速い。なお底が 1 より大きいとき対数は単調増加なので値の大きさも直感的に判断できる。
Q2 : tan45° の値はどれか。
三角比において tanθ は sinθ / cosθ で定義される。45° の場合、直角二等辺三角形を考えれば sin45°=cos45°=√2/2 となるから tan45°=(√2/2)/(√2/2)=1。よって選択肢のうち値が 1 であるものが正しい。√3 や 0, √3/3 はそれぞれ tan60°, tan0°, tan30° に対応するため紛らわしいが誤答である。度数とラジアンの混同、tan の定義の思い違いが典型的なミスなので注意が必要。公式暗記より図形的理解が確実性を高める。
Q3 : 等差数列 2,5,8,11,… の第20項はどれか。
等差数列は初項 a, 公差 d のとき n 項目が a+(n-1)d で求められる。今回の数列は初項 a=2, 公差 d=3 なので第 n 項は 2+3(n-1)=3n-1。n=20 を代入すると 3·20-1=60-1=59。似た値 58,60,61 は計算時の足し算・引き算の取り違えや n-1 を n と誤る際に生じるため注意。公式を覚えていなくても差が一定であることから 10 項あたりを計算しパターンを確認すれば導ける。センター試験レベルの頻出題材。
Q4 : ベクトル a=(1,2) と b=(3,4) の内積 a·b の値はどれか。
二次元ベクトルの内積 a·b は a_x b_x + a_y b_y である。a=(1,2), b=(3,4) を代入すると 1·3 + 2·4 = 3 + 8 = 11。内積は cos を用いた幾何的定義 a·b = |a||b|cosθ と一致し、正の値なので鈍角でないことも分かる。計算自体は中学の乗算と加算だが、符号を落とすと 10 や 14 といった選択肢に誘導される。ベクトルの基本演算は物理や解析幾何でも頻繁に現れるため、確実に手続を身につけておく必要がある。
Q5 : 虚数単位 i の4乗 i^4 の値はどれか。
虚数単位 i は i^2 = -1 を満たす数と定義される。べき乗は指数法則に従うため i^3 = i·i^2 = -i, i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1。実際には周期 4 で値が循環する性質があり、指数を 4 で割った余りを使って考えると計算が容易。i^100 などの大きな指数も同じ要領で求められる。ゆえに i^4 の値は 1。選択肢の -1, i, -i は指数を 2,1,3 とした場合に対応する典型的なひっかけである。
Q6 : 定積分 ∫_0^1 x^2 dx の値はどれか。
定積分 ∫_0^1 x^2 dx は原始関数 F(x)=x^3/3 を求め、上端値と下端値の差を取る基本手順で計算する。F(1)=1/3, F(0)=0 なので値は 1/3。面積として解釈すると、x 軸と放物線 y=x^2 に挟まれた 0≦x≦1 の領域の面積に相当し、台形より小さく 1/3 であることも図形的に納得できる。高校数学 II の公式 ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) を確実に使えれば数行で終わる典型問題。分母を間違え 1/2 や 1/4 を選ぶミスが多いので注意。
Q7 : 二次方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 の解を小さい方から並べたとき、1番目の解はどれか。
方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 は積が +6, 和が -5 になる 2 つの数を探して因数分解する考え方が典型的である。(x-2)(x-3)=0 と分解できれば x=2,3 が得られる。判別式 D=25-24=1>0 で実数解が 2 つ存在することも確認可能。大小を問われているので小さい方の解は 2 となる。因数分解・解の公式・グラフ読み取りなどどの手段でも同じ結論に帰着する。
Q8 : 座標平面上で点A(1,2)と点B(7,8)を結ぶ線分の中点の座標はどれか。
中点の座標は座標ごとに平均を取ることで求められる。点 A(1,2) と B(7,8) の x 座標の平均は (1+7)/2=4、y 座標の平均は (2+8)/2=5 であるから中点は (4,5)。数 II のベクトルや平行四辺形の対角線の交点としても同じ式が導ける。計算は単純だがミスをすると選択肢の似た座標に誘導されやすい。教科書の公式 M( (x1+x2)/2 ,(y1+y2)/2 ) の直接適用を思い出せば確実に正解できる。
Q9 : 関数 f(x)=x^3-3x^2+2 の x=2 における微分係数はどれか。
関数 f(x)=x^3-3x^2+2 の微分係数は f'(x)=3x^2-6x となる。これは累乗に係数を掛け指数を 1 減らす基本的ルールから得られる。x=2 を代入すると 3·2^2-6·2=12-12=0。したがって接線の傾きは 0、グラフはこの点で水平に接する。極値候補を探す場合にも同じ計算を行うため、演習で頻出する計算手順である。数 III の微分公式を確実に使えれば暗算でも数秒で求められる典型問題。
Q10 : 赤玉3個と青玉2個が入った袋から同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率はいくらか。
玉の色の組合せ問題は組合せの総数と条件を満たす場合の数で計算する。袋には赤 3, 青 2 の合計 5 個があり、2 個取り出す方法総数は 5C2=10 通り。そのうち 2 個とも赤になる組は赤 3 個から 2 個選ぶ 3C2=3 通り。従って確率は 3/10。順序を区別して数えても分子分母が同じ比で増えるので同じ答えになる。分数を約分して 3/10 になる選択肢を選ぶことが重要。引いた後戻さない「同時に取り出す」場合は独立事象でない点も押さえておきたい。
まとめ
いかがでしたか？ 今回は高校数学クイズをお送りしました。
皆さんは何問正解できましたか？
今回は高校数学クイズを出題しました。
ぜひ、ほかのクイズにも挑戦してみてください！
次回のクイズもお楽しみに。
